Historia de los números I. El cero, los números romanos y los números indoarábigos

Historia de los números

Historia de los números I. El cero, los números romanos y los números indoarábigos

Historia de los números II. Los sumerios, los babilonios y el sistema sexagesimal

Historia de los números III. El sistema de numeración egipcio y los papiros Rhind y Boulaq 18

Historia de los números VI. Mayas, los matemáticos que observaban las estrellas

Historia de los números V. La llegada de los números indoarábigos a occidente

Historia de las mediciones

Historia de las mediciones I. Eratóstenes, el hombre que midió la Tierra

Historia de las mediciones II. Cavendish y la densidad de la Tierra

Si reflexionamos sobre los símbolos que usamos al escribir nos daremos cuenta de un hecho significativo: nuestro abecedario se fundamenta en la lengua latina, pero de pequeños nos enseñaron a representar dos tipos de números, los romanos y los que utilizamos habitualmente para el cálculo. Si tenemos un abecedario latino, ¿por qué no utilizamos también los números romanos para el resto de cosas?

A comienzos de la Edad Media casi todos los países europeos utilizaban el sistema numérico romano, el cual tiene varios signos para representar los números. Estos son el I, V, X, L, C, D y M, es decir el 1, 5, 10, 50, 100, 500 y 1.000. Para representar un número determinado, se ponen tantas letras como haga falta para que la suma nos de la cantidad adecuada. Al principio se estableció un orden de magnitud en la colocación de los signos: los más grandes iban antes que los más pequeños (teniendo en cuenta que se escribía de izquierda a derecha). Este orden se alteró cuando, para abreviar la escritura, se empezó a colocar signos de menor magnitud a la izquierda de los signos de mayor magnitud, lo cual significaba que los valores pequeños se restaban a los grandes. Por ejemplo, podíamos escribir el número 39 cómo XXXVIIII o como XXXIX. La notación corta terminó por imponerse.

Como se puede observar, el sistema de numeración romano era poco práctico y dificultaba trabajar con números grandes. Esto produjo varios intentos por simplificar el sistema, siendo uno de los más importantes el que ocurrió en España.

La cuenta castellana

Figura 1. El maravedí, antigua moneda española utilizada entre los siglos XII y XIX

A lo largo del periodo 1350-1450, la cantidad de oro y plata circulante se redujo drásticamente en Europa. Esto ocurrió por la disminución del comercio con Oriente y la desaparición del Imperio Bizantino, lo cual dio paso a la expansión turca por el Mediterráneo. Todo esto dificultó mucho el comercio de metales preciosos. Por ejemplo, se estima que a pesar de que Cataluña era el territorio mejor conectado con Europa, la cantidad de oro acuñado en forma de moneda en esta región se redujo a la quinta parte de la producción del siglo anterior.

Tras la unificación española el dinero escaseaba y había en circulación demasiados tipos de moneda diferentes, así que en el reinado de los Reyes Católicos se fijó una equivalencia entre todas las monedas existentes y el maravedí, una moneda imaginaria que no se acuñaba y tenía un valor simbólico. Es decir, el maravedí se utilizaba para poder comparar las diferentes divisas que estaban presentes en todo el territorio. No obstante, después de todo este jaleo se decidió que lo mejor era acuñar una nueva moneda de cobre cuyo valor sí que estuviera expresado en maravedís.

Cuando llegó el reinado de Felipe III se comenzó a utilizar una estrategia para obtener oro: si el estado necesitaba fondos este acuñaba más monedas de cobre y, al mismo tiempo, retiraba monedas de oro y plata del mercado nacional. De este modo se obtenían las cantidades necesarias de metal preciado que había que pagar a la banca internacional. Es decir, sacaban oro y plata para introducir cobre. Como es lógico esto creó una espiral de inflación: cada vez se necesitaban más maravedís para comprar los mismos productos. La moneda oficial perdió casi todo su valor y las cantidades que se manejaban eran gigantescas, así que los contables de la época tuvieron que ingeniárselas para rellenar los libros de contabilidad, en los cuales se tenían que escribir filas enormes con los números romanos a representar. De este modo se inventaron nuevos símbolos con nuevas funciones para el sistema numeral romano, como por ejemplo el calderón, el cual tenía forma de U y multiplicaba por 1.000 todas las cantidades a su izquierda. Este nuevo sistema, conocido habitualmente como cuenta castellana, permitía escribir números de forma más fácil, pero seguía sin solucionar los principales problemas del sistema numérico romano, como por ejemplo que hacer operaciones complejas sin la ayuda de un ábaco era prácticamente imposible. Esto nos llevará a la siguiente etapa de nuestro viaje por la historia.

El sistema de numeración indoarábigo

El sistema de numeración que utilizamos hoy en día se llama indoarábigo, y es considerado por muchos matemáticos uno de los avances más significativos de las matemáticas. Nuestros números actuales tuvieron su origen en la India y se expandieron por el mundo islámico, llegando al resto de Europa a través del puente cultural que supuso Al-Andalus, aunque eso es una historia que contaremos otro día. La pregunta clave es, ¿cómo nació el sistema indoarábigo?

En primer lugar habría que definir el concepto de sistema numérico. Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten construir todos los números válidos para ese sistema. A grandes rasgos hay dos tipos de numeración, los no posicionales y los posicionales. El primero consiste en adoptar un símbolo patrón que represente una cantidad determinada de cosas y repetirlo tantas veces como unidades haya. Un ejemplo podría ser utilizar los dedos para contar y referirse a una cantidad como el número de manos que representa. Por ejemplo, «cuatro manos y dos dedos» podría ser el número que nosotros escribimos como 22, ya que en cuatro manos hay 20 dedos, y si le sumamos los dos dedos que nos faltan tenemos 22. Por otro lado, un sistema de numeración posicional consiste en atribuir un símbolo propio a unos pocos números, y entonces considerar un conjunto ordenado de esos símbolos como un número diferente. Nuestro sistema numérico es un buen ejemplo, donde el número 976 no se parece en nada al 769, a pesar de que ambos están formados por el 9, el 7 y el 6.

Una vez explicadas estas definiciones básicas veremos cómo nació nuestro sistema numérico. La historia comenzó en la India, donde sus habitantes usaban un sistema numeral muy rudimentario. Los matemáticos y astrónomos hindúes comprendieron que con ese sistema se dificultaba mucho la tarea de trabajar con números elevados. No se sabe muy bien cómo sucedió, pero lo más probable es que, inspirados por el sistema numeral chino Hua Ma, los astrónomos hindúes comenzaron a usar un sistema numérico posicional con 9 números básicos.

Los números en este nuevo sistema hindú eran escritos de manera fonética, y si el número era mayor que 9 entonces se utilizaban las distintas potencias de diez para representarlo. Por ejemplo, 996 podía escribirse como seis, más nueve por diez, más nueve por cien. Todo esto era escrito utilizando las transcripciones fonéticas de los números, y cómo podéis suponer era excesivamente largo. Esta numeración fue un avance importante, pero para solucionar el problema de la longitud decidieron usar símbolos y eliminar cualquier mención a las bases y sus potencias. Sólo conservaban el número, pero la posición de dicho número indicaba, a su vez, por qué potencia de diez había que multiplicarlo. Por ejemplo, si teníamos 985, la tercera posición del 9 indicaba que había que multiplicarlo por 100, la segunda posición del 8 indicaba que había que multiplicarlo por 10, y el primer lugar del 5 indicaba que había que multiplicarlo por 1. Un sistema muy ingenioso, pero un número podía no tener una cifra en una determinada posición. Es decir, el número 608 se escribía del mismo modo que 68, aunque en el primer caso situaban un hueco entre los dos números. ¿Qué ocurriría si teníamos que escribir 60008? Lo que para una persona eran tres huecos para otra podían ser dos. Pronto fue evidente que en este nuevo sistema no quedaba tan claro qué número ocupaba cada posición. Para resolver este problema los astrónomos inventaron el concepto de hueco numérico, el cual se ponía para indicar que en esa posición no iba ningún número. Este hueco era representado con un punto. Había nacido el concepto de cero como elemento posicional para indicar la ausencia de un número, aunque aún no existía el cero como un número con el cual poder hacer operaciones.

Figura 2. Representación de la evolución de los símbolos utilizados para representar los diez números del sistema numeral indoarábigo, con algunos números representados usando la notación árabe del este, que se originaría varios siglos después de la invención de nuestro sistema numeral.

El cero

Los sumerios, los chinos y los mayas también se enfrentaron a ese hueco numérico en sus respectivos sistemas, de los cuales hablaremos en otros artículos. No obstante los hindúes transformaron esta notación en un método de numeración avanzada que podía representar cualquier cantidad. Poco a poco, los hindúes se percataron de que su nuevo sistema permitía escribir los números de forma fácil pero imposibilitaba hacer algunos cálculos, ya que el vacío que dejaba el primitivo cero no era un número con el cual se pudiera operar, ¿cómo trabajar con él?

En el año 628 D.C, un matemático hindú llamado Brahmagupta definió lo que era el cero. Lo hizo en su libro titulado Brahmasphutasiddhanta (traducido como Doctrina de Brahma Correctamente Establecida). En él atribuyó un signo al vacío que dibujaban sus contemporáneos. Brahmagupta definió al cero como el resultado de restarle a un número él mismo. Además formuló las reglas matemáticas para operar con él, lo que les permitió describir operaciones sencillas para hacer sumas, restas, divisiones, multiplicaciones y algunas operaciones más. Falló solamente a la hora de definir divisiones que implicaban al cero como denominador, pero por lo demás su libro permitió tratar matemáticamente al hueco numérico como a un número más. Había nacido el cero tal y como lo conocemos nosotros, y esto permitió realizar operaciones de manera rápida y efectiva.

Podría parecer una tontería, pero la invención de este sistema numérico hizo más fácil el cálculo y permitió el avance en muchas disciplinas, como por ejemplo la geometría, el álgebra o la astronomía. Todos estos avances se tradujeron en mejoras en muchos campos del conocimiento aplicado, como por ejemplo la agricultura. Y fue por esa practicidad y por resolver todos los problemas anteriores por lo que los números indoarábigos sustituyeron a los romanos, aunque esa batalla entre ambos sistemas será contada en otro artículo.

Tendemos a pensar que el cero no sirve para nada, pero la mayor parte de la humanidad ignora que se tardó muchos siglos en descubrirlo, y de hecho, hubo hasta tres intentos anteriores por definirlo, perdiéndose dichos esfuerzos en los gigantes mares de la historia. El matemático hindú Brahmagupta definió matemáticamente lo que muchos habían intuido; que el concepto de ausencia podía tener una gran importancia para medir las cosas.