Historia de los números V. La llegada de los números indoarábigos a occidente

Historia de los números

Historia de los números I. El cero, los números romanos y los números indoarábigos

Historia de los números II. Los sumerios, los babilonios y el sistema sexagesimal

Historia de los números III. El sistema de numeración egipcio y los papiros Rhind y Boulaq 18

Historia de los números VI. Mayas, los matemáticos que observaban las estrellas

Historia de los números V. La llegada de los números indoarábigos a occidente

Historia de las mediciones

Historia de las mediciones I. Eratóstenes, el hombre que midió la Tierra

Historia de las mediciones II. Cavendish y la densidad de la Tierra

Hemos navegado por la historia de los números hablando de pueblos milenarios como los mayas, los babilonios o los romanos. Por el camino nos hemos dejado algunos sistemas numerales asombrosos, como el presentado en el siglo tercero por el matemático indio Pingala, que fue el primer sistema binario conocido por la humanidad. Todas esas historias fueron apasionantes y están cargadas de belleza y poesía.

Esta última historia que os contaré narra el enfrentamiento entre dos sistemas numerales a lo largo de los siglos, una lucha titánica con cientos de protagonistas, algunos de los cuales tuvieron vidas realmente asombrosas.

Muchas historias mitológicas tienen héroes y grandes batallas, pero a veces la realidad supera a la ficción. Del mismo modo que Prometeo robó el fuego a los dioses y se lo regaló a los mortales, algunos de los protagonistas de esta historia robaron grandes ideas al desconocimiento, enseñando a toda la humanidad las ventajas de aplicarlas. Esta es la historia de algunos de esos héroes, que ante la furia de la tradición tuvieron que enseñar a su sociedad las ventajas que tenía usar un sistema numeral usado, en muchos casos, por sus enemigos históricos.

La expansión islámica

Si bien es cierto que la introducción de los números indoarábigos en Occidente está descrita perfectamente por los historiadores de las matemáticas, muchos de los usuarios del propio sistema desconocen que, en realidad, no es occidental. Ese dato es importante, ya que comprender nuestros orígenes nos ayuda a respetar otras sociedades y entender que no somos únicamente el fruto de Occidente, sino que hemos heredado conocimiento e ideas de todas y cada una de las culturas que nos han precedido.

Como hemos visto artículos anteriores, expresar cantidades elevadas y operar con ellas era muy difícil con el sistema numeral romano, y todo ello a pesar de los intentos de mejorar el sistema y de la introducción de herramientas como el ábaco. Por otro lado, creo que a estas alturas el lector ya sabrá las ventajas de un sistema numérico posicional, y aunque esto es fácil de entender ahora, a nuestros antepasados les costó un poco más.

Cuando en Europa aún contábamos usando rayas, uves y equis, en la India se inventó nuestro sistema numérico actual, el cual podía expresar cualquier cantidad sin límite y ofrecía una gran facilitad de cálculo, algo que era imposible de alcanzar con la numeración romana. Este sistema fue adquirido rápidamente por los árabes, los cuales eran unos grandes matemáticos y comprendieron las ventajas que ofrecía esta nueva forma de contar.

La expansión de nuestro sistema numérico habría sido imposible sin el matemático árabe Muhammad ibn Musa abu Djafar Al-Khwarizmi. Su nombre, que al traducirlo al latín fue Algoritmo, dio lugar al término matemático que se llama igual. Al-Khwarizmi nació sobre el año 780 d. C, fue un gran astrónomo y matemático, posiblemente nació en Bagdad y trabajó allí como investigador en la Casa de la Sabiduría. Al-Mamun, el califa que vivía en aquellos momentos, intentó enriquecer la ciencia árabe y llevó a su territorio a los sabios más importantes de Oriente. Fue en ese contexto cuando algún matemático hindú tuvo que enseñar su sistema numérico a Al-Khwarizmi, y este, a su vez, dedicó muchos años a divulgarlo por todo el mundo árabe. Sus dos libros más importantes al respecto fueron Kitab al-Ŷamaa wa al-Tafriq bi Hisab al-Hind (Libro sobre la suma y la resta según el método indio), y su obra básica dedicada al álgebra, Al-Kitab al-Mukhtasar fī Hisab al-Jabr wa-l-Muqabala (El arte de resolver ecuaciones). Con estos textos, el mundo árabe aceptó este sistema numérico como algo no solamente interesante, sino también imprescindible para el avance de las matemáticas. Y todo ese saber quedó reflejado en multitud de libros y centros culturales de la España musulmana, a muy pocos kilómetros de los reinos cristianos del mundo occidental.

Figura 1. Estatua de Al-Khwarizmi, el matemático árabe que introdujo el sistema numeral hindú en el mundo islámico.

El salto a Europa

El primer escrito occidental donde aparecen los números indoarábigos es en el Codex Vigilanus, de autor anónimo y finalizado en el 881 d. C. El libro tiene un formato de crónica y cuenta la historia antigua de Hispania, siendo una de las pocas fuentes fiables que se conservan del periodo final de la monarquía hispanovisigoda. Si bien no sabemos quién escribió el texto, sí sabemos el nombre de un monje que no solo lo copió, sino que lo continuó hasta llegar al año 976 d. C. Su nombre era Vigila y trabajaba en el Monasterio benedictino de San Martín de Albelda (La Rioja).

El Codex Vigilanus no es un tratado de matemáticas y no parece el lugar más indicado para albergar la numeración indoarábiga, pero Vigila la describió en un pequeño apéndice donde explicaba, de forma breve, su superioridad en los terrenos de la aritmética, el cálculo y la geometría.

Ahora bien, escribir números en un libro e introducir un sistema numeral en una sociedad son dos cosas diferentes. ¿Cómo dieron el salto los números indoarábigos a Europa? En esta historia tuvo un papel muy importante otro monje benedictino del siglo X.

Gerberto nació en la región francesa de Auvernia en el año 945 d. C, y entró a servir en el monasterio benedictino de Saint-Geraud de Aurillac, donde aprendió las artes clásicas del trivium, que consistían en la gramática, la lógica y la retórica, pero que no incluían las matemáticas. Cuando el abad del monasterio ya no podía enseñarle nada más al muchacho, que parecía inteligente y capaz, llegó la oportuna visita del Conde Borrell de Barcelona. El abad, que era consciente del potencial de su alumno, rogó al conde que se lo llevara al monasterio catalán de Santa María de Ripoll, también de la orden benedictina. El conde aceptó y el monje estuvo allí hasta el año 970 d. C. En el nuevo monasterio estudió las artes clásicas del quadrivium, que sí que incluían las preciadas matemáticas que tanto cambiarían su vida.

El nuevo hogar de Gerberto tenía una gran biblioteca. Además, al estar cerca de territorios musulmanes, también tenía contacto con su cultura. Posiblemente, en ese monasterio se hicieron algunas de las primeras traducciones de los libros de Al-Khwarizmi, o al menos de sus enseñanzas. Y fue allí, por azares de la vida, cuando ese monje curioso leería por primera vez sobre los números indoarábigos. También estudió los avances que los musulmanes habían hecho en las matemáticas, y el joven decidió, tal vez frente a un libro de esa misma biblioteca, que también dedicaría su vida a los números.

Aquí es donde la historia se vuelve más difusa y hay menos pruebas sobre lo que sucedió. Parece ser que, atraído por la cultura matemática árabe, el joven Gerberto se hizo pasar por un peregrino musulmán, llegó hasta Córdoba —que contaba con una biblioteca de casi medio millón de libros— y acudió durante un tiempo a una madraza musulmana para aprender las artes y las ciencias de aquella misteriosa civilización. Cuando sació su curiosidad, regresó al monasterio y peregrinó a Roma junto al Obispo de Vic.

Nunca sabremos si Gerberto emprendió realmente ese viaje a través de la España musulmana, pero lo que sí sabemos es que el monje creció y, sorprendentemente, terminó por convertirse muchos años más tarde en Silvestre II, Papa número ciento treintainueveavo de la Iglesia Católica, ocupando el cargo hasta su muerte en el 1003 d. C.

 

Figura 2. Gerberto de Aurillac, Papa número 139 de la Iglesia católica, desde el año 999 al 1003

En el transcurso de su vida, Gerberto escribió libros que se hicieron muy famosos, y en algunos de ellos habló de los números que había aprendido en su juventud. Su llegada al papado bajo el nombre Silvestre II ayudó a popularizar el sistema numeral indoarábigo entre los clérigos. También inventó un nuevo tipo de ábaco que funcionaba introduciendo nueve tipos diferentes de fichas que, además, tenían los números arábigos escritos. Servía para sumar, restar, multiplicar y dividir de forma rápida, aunque no permitía hacer cálculos con el cero. Su invento es considerado como un predecesor de la calculadora.

Gerberto no solo brilló como matemático, sino que también fue un gran erudito en otros temas filosóficos y científicos. Pero estamos hablando de la Edad Media, así que Gerberto nunca se libró de la fama de ser un brujo. Circularon leyendas sobre él, en las cuales hacía pactos con el diablo para alcanzar conocimientos prohibidos y llegar a convertirse en Papa. Siglos después, algunas de esas leyendas aún se contaban, y fue visto con recelo por su acercamiento a la cultura árabe y por leer textos de los antiguos griegos.

Aquel monje benedictino no solo dejó tras de sí una gran biblioteca de textos científicos, sino las semillas para que el sistema de numeración indoarábigo prosperara en Europa.

La popularización del sistema numeral

Un códice y un Papa matemático no bastaron para hacer entender la necesidad de un cambio de sistema numérico. El códice de Vigila no tuvo mucha difusión, y los libros de Gerberto de Aurillac, a pesar de rediseñar el ábaco y utilizar algunos números arábigos en él, no fueron los que marcaron el declive de la numeración romana. Toda la teoría escrita en Europa sobre el sistema numeral árabe era considerada como una curiosidad, ya que para muchos no tenía utilidad práctica, ¿quién cambió esa concepción?

Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci, fue un matemático italiano que nació en el año 1170 d. C. El padre de Leonardo era un comerciante que dirigía un puesto en el norte de África, así que cuando nuestro matemático era un niño viajó hasta allí para ayudarle. En los mercados, los intercambios de dinero son rápidos y constantes, así que la contabilidad tiene un sentido práctico. Fue allí, rodeado de maestros del comercio y el regateo, donde aprendió el sistema de numeración indoarábigo.

Desde su juventud, Fibonacci comprendió que un sistema de numeración posicional permitía realizar algoritmos matemáticos mucho más complejos. Por eso viajó a través de los países del norte de África para estudiar con los matemáticos árabes más conocidos de su época. Regresó de su peregrinación numérica en el año 1200 d. C, y un poco después, cuando tan solo contaba con treinta y dos años, publicó todo lo que había aprendido en el Liber abaci. A diferencia de cualquier texto sobre matemáticas publicado con anterioridad, este fue el primer libro completo de aritmética que solo utilizaba los numerales indoarábigos. El ejemplo del Liber abaci fue revelador, el sistema numeral arábigo era mucho más efectivo, permitía hacer mejores cálculos y desarrollaba las matemáticas de una manera más rápida.

Como siempre, las gentes prácticas del comercio fueron los primeros en entenderlo. Toda la aritmética mercantil comenzó a realizarse con los nuevos números y Paolo Dagomari, un mercader aficionado a las matemáticas, escribió el 1339 d. C. el primer manual para mercaderes donde se enseñaba el uso de la numeración arábiga. Se llamó Trattato d’Abbaco, d’Astronomia, e di segreti naturali e medicinali.

Después de Fiobanoci y Dagomari, comenzaron a florecer libros por toda Europa. Usaban números indoarábigos, describían el sistema de numeración posicional con base decimal, explicaban los algoritmos esenciales —sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y reglas de tres—, pero ante todo primaban el espíritu práctico que había marcado el inicio de la expansión del sistema indoarábigo. No es casualidad que, en la mayoría de problemas que se estudian en el colegio, se hable de compras, ventas, repartos de herencias o intereses generados al pedir dinero. Como eran libros destinados al comercio, se escribían en las lenguas del lugar y no utilizaban el latín. Esa fue la clave para que la popularización fuera definitiva, ya que todo el mundo pudo entender las ventajas de utilizar algoritmos posicionales para el cálculo.

Figura 3. Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci.

No obstante, la batalla aún no estaba ganada. Toda sociedad se opone a los cambios que no comprende y este caso no fue una excepción. Además, muchas personas no podían aceptar que los hindúes y los árabes tuvieran un sistema numeral mejor, así que en Italia se prohibió utilizar números árabes en los libros contables. La pugna entre los algebristas —partidarios de los numerales indoarábigos— y los abaquistas —partidarios de la numeración romana— fue larga e intensa. Los abaquistas recibían ese nombre porque para hacer cálculos necesitaban un ábaco. Ese problema es compartido por todos los sistemas numerales no posicionales, ya que el cálculo no puede realizarse mediante algoritmos. De hecho, la batalla medieval sobre sistemas numerales es muy similar a otra disputa, esta vez menos titánica, entre un vendedor de ábacos y el famoso físico Richard Feynman —premio Nobel en el año 1965—. Esta historia refleja perfectamente el espíritu de la cuestión:

La primera vez que fui a Brasil estaba tomando la comida del mediodía a no sé qué hora —siempre iba a los restaurantes fuera de hora— y por eso yo era el único cliente que había en el local. Estaba tomando arroz con carne de buey (un plato que me encantaba) y había no menos de cuatro camareros atendiendo.

Entonces entró en el restaurante un japonés. Ya lo había visto antes, dando vueltas por ahí. Estaba tratando de vender ábacos. Comenzó a hablar con los camareros, y los desafió diciendo que era capaz de sumar dos números más rápidamente de lo que pudiera hacerlo cualquiera de ellos.

Los camareros quisieron salvar la cara, así que le dijeron. «¡Ya, ya! ¿Por qué no reta a ese cliente que está ahí?». El hombre vino hacia mí. Yo protesté: «¡Pero yo no hablo bien portugués!» Los camareros se rieron. «Los números son fáciles», dijeron. Me trajeron lápiz y papel.

El hombre le pidió al camarero que dijera algunos números para sumar. Me zurró de lo lindo, porque mientras yo los anotaba él estaba ya calculando directamente con su ábaco. Yo sugerí que el camarero nos pusiera listas idénticas de números, y que nos las presentara al mismo tiempo. No hubo gran diferencia. Me ganó por bastante.

El japonés se puso eufórico. Quiso ponerse a prueba un poco más. «Multiplicaciones», anunció. Alguien nos puso un problema. Volvió a ganarme, pero no por mucho, porque yo soy muy rápido multiplicando.

El hombre cometió entonces un error. Propuso que pasásemos a la división. De lo que no se daba cuenta era de que cuanto más difícil fuera el problema, tanto mayores eran mis oportunidades de ganarle.

Ambos efectuamos una larga división. La cosa quedó en empate. Esto le puso de un humor de mil demonios, porque al parecer tenía una gran pericia con el ábaco, y por poco no fue vencido por un cliente cualquiera de un restaurante.

«¡Raíces cúbicas!», dijo, buscando la revancha. ¡Raíces cúbicas! ¡El tío está dispuesto a hacer raíces cúbicas por métodos aritméticos elementales!

Resulta difícil encontrar en la aritmética un problema elemental más difícil. Sin duda tenía que haber sido su número de virtuosismo en Abacolandia. Anotó un número en un papel —un número cualquiera— que todavía recuerdo: el 1.729,03. Empezó a trabajar en él, murmurando y gruñendo: «Mmmmmmammmbr» ¡Trabajaba como un demonio! Le estaba haciendo sudar su condenada raíz cúbica. Mientras tanto, yo allí sentado, sin hacer nada.

Uno de los camareros dice: «¿Qué hace usted?» Yo me señalé la cabeza. «¡Pensar!», respondí. Anoté un 12 en un papel. Un poco más tarde ya tenía el 12,002.

El tipo del ábaco se secó el sudor de la frente. «¡Doce!», declaró. «¡Oh, no! —respondí yo—. ¡Más cifras! ¡Más cifras!» Yo sé que al sacar una raíz cúbica por métodos aritméticos, cada cifra cuesta más que la anterior. Es un trabajo pesado. Volvió a enterrarse en la tarea, murmurando por lo bajo: «Rrrrrgrrrrrmmmm…»

Mientras tanto, yo añadí un par de cifras decimales más. El otro alzó por fin la cabeza de su ábaco, y dijo: «¡12,0!». Los camareros estaban contentos y entusiasmados. Le dijeron al japonés: «¡Vea! Este señor la ha calculado pensando, y ha sacado más cifras decimales que usted ¡Y usted necesita además el ábaco!» Había sido derrotado en toda línea, hundido, humillado. Los camareros se felicitaban unos a otros.

Me di cuenta entonces de una cosa: el vendedor de ábacos no conocía los números. Al utilizar el ábaco no es preciso aprender de memoria un montón de combinaciones aritméticas; lo único que hace falta es aprender a llevar las cuentas arriba y abajo. No es preciso aprender de memoria que 9 + 7 = 16. Lo único que hay que saber es que cuando se suman 9 hay que subir una cuenta de valor 10, y bajar una de valor 1, así que nosotros somos más lentos en las operaciones aritméticas fundamentales; en cambio conocemos los números.

Extracto del libro Está usted de broma, Mr. Feynman

La historia de Feyman nos puede hacer comprender mejor la batalla entre los sistemas numerales. El físico representa los sistemas posicionales, más prácticos y con muchas posibilidades de cálculo. El vendedor de ábacos, en cambio, representa los sistemas no posicionales, más lentos y poco útiles. Esta rivalidad entre los sistemas numerales se mantuvo durante mucho tiempo. Por ejemplo, observamos un duelo parecido al de Feynman en una ilustración del libro Margarita Philosophica de Gregor Reisch, publicado en 1503. En la ilustración aparece la diosa Aritmética en medio de una competición de cálculo entre Boecio y Pitágoras. La diosa aparece vestida con números árabes y mirando a Boecio, que está empleando la numeración arábiga y utiliza una pluma para hacer las operaciones. Pitágoras, por el contrario, emplea la numeración romana y un ábaco para hacer sus cálculos. Este grabado es solo un ejemplo de todos los que se pueden encontrar, los cuales reflejaban que Europa se resistía al cambio.

Figura 4. Ilustración aparecida en el libro Margarita Philosophica de Gregor Reisch

Costó más de quinientos años sustituir en el cálculo a la numeración romana por técnicas modernas, pero finalmente ganó el mejor sistema numérico, impulsado principalmente por gente práctica como los comerciantes.

Muchos autores sostienen que el proceso de sustitución era inevitable, pero le debemos mucho a personajes como Al-Khwarizmi, Vigila, Fibonacci, Dagomari o Gerberto. Con su historia he querido mostrar que detrás de cada cosa, incluso de los números, se esconden historias asombrosas que han revolucionado el mundo. Nuestra sociedad sería muy diferente sin nuestro sistema numeral, y gran parte de esos cambios se produjeron gracias a personas que entendieron que a veces una idea sencilla puede cambiar el mundo.

El desarrollo de las matemáticas nos ha permitido, entre otras cosas, construir satélites y naves espaciales, entender mejor el mundo, modelizar organismos vivos, desarrollar la física moderna o sencillamente ver una película en el cine con la persona que amamos.

La historia de la humanidad está llena de personajes que nos han regalado el fuego del conocimiento, gente que nos alumbró por primera vez con ideas asombrosas, o sencillamente personas valientes que recogieron la antorcha de otros y se esforzaron por hacerla llegar a su destino final. Una antorcha de conocimiento y progreso que ha llegado hasta nosotros, y en honor a todos los que portaron ese fuego hemos continuado ese trayecto que empezaron los matemáticos del mundo antiguo.