Historia de las mediciones I: Eratóstenes, el hombre que midió la Tierra

Historia de los números

Historia de los números I. El cero, los números romanos y los números indoarábigos

Historia de los números II. Los sumerios, los babilonios y el sistema sexagesimal

Historia de los números III. El sistema de numeración egipcio y los papiros Rhind y Boulaq 18

Historia de los números VI. Mayas, los matemáticos que observaban las estrellas

Historia de los números V. La llegada de los números indoarábigos a occidente

Historia de las mediciones

Historia de las mediciones I. Eratóstenes, el hombre que midió la Tierra

Historia de las mediciones II. Cavendish y la densidad de la Tierra

Historia de las mediciones III. Harrison y el problema de la longitud 

En otras entregas de nuestra revista hicimos un recorrido por el origen de los números [1], y junto a personajes tan interesantes como Brahmagupta, Al-Khwarizm, Gerberto de Aurillac o Fibonacci, navegamos por los mares del tiempo y las civilizaciones, cruzamos océanos y culturas, convivimos con babilonios, egipcios, chinos, indios, musulmanes y europeos, hasta comprender que la historia de los números es la historia de la misma humanidad. Porque desde un primer momento, en las cuevas oscuras de la prehistoria, el ser humano aprendió a contar antes que a leer y escribir, y con el paso de los siglos fue perfeccionando ese arte. Pero la historia del origen de los sistemas numerales quedaría incompleta sin la historia de las mediciones, ya que utilizar los números de la manera apropiada es una herramienta útil, pero para comprender el mundo real hace falta obtener esos números de la naturaleza. Ahora bien, medir la masa de Marte no es lo mismo que contar bisontes en una cueva, y para llegar hasta el mundo tecnológico que conocemos hubo una carrera que nos dio telescopios para mirar las estrellas, microscopios para estudiar lo minúsculo, balanzas para pesar, espectrómetros de masas para analizar la composición de las cosas,  y una serie de artilugios que nos permitieron hacer las mediciones más asombrosas que os podáis imaginar. Si la historia de los sistemas numerales os pareció llena de ingenio, la historia de las mediciones nos acerca casi al terreno de la magia, porque lo creáis o no, la primera historia que os voy a contar es la del hombre que midió la Tierra utilizando solamente un palo y su imaginación.

Midiendo la Tierra en el mundo antiguo

La Tierra es grande, de eso hay pocas dudas. Aunque  el término grande es relativo, ¿es grande comparada con una galaxia? En ese caso  sería diminuta. Por eso, más allá del adjetivo, los seres humanos han aprendido a medir utilizando escalas numéricas objetivas. Así que para comparar la Tierra con nuestra galaxia solo tendríamos que comprar el radio de ambos objetos. El de la Tierra es de 6.371 km, y el de la galaxia de un trillón y medio de kilómetros. Gracias a estos números podemos ver las proporciones de forma objetiva, pero ¿cómo se consiguió medir la Tierra?

Antes de saber cómo de grande es algo hay que saber qué forma tiene, ya que no es lo mismo medir un cuadrado que un círculo o una esfera. La forma de la Tierra fue uno de los primeros grandes debates del mundo antiguo, y si nos acercamos a esa época podemos encontrar datos interesantes: si bien la idea mayoritaria en todas las culturas era que la Tierra debía ser plana, otros como Anaximandro en el silo VI a. C. pensaban que era cilíndrica. Pero la idea de una Tierra esférica no apareció de manera firme hasta la llegada de Aristóteles, cuando en torno al año 330 a. C. argumentó que debía ser esférica ya que, al viajar al sur, las constelaciones parecían subir en la bóveda celeste, y eso solo puede explicarse si la Tierra es esférica. También añadió otro dato basado en sus observaciones, a saber, que la sombra proyectada por la Tierra sobre la Luna durante los eclipses era siempre circular, y ese efecto solo puede ser producido por una esfera. Ahora bien, si estás pensando que esos fueron los argumentos definitivos contra la Tierra plana estás equivocado, los chinos no abandonaron esa idea hasta el siglo XVII de nuestra era, y solamente gracias a la gran insistencia de los astrónomos jesuitas que había en la corte del emperador. Es más, actualmente aún existe un gran número de personas que piensan que la Tierra es plana, y entre otras organizaciones destaca la Flat Earth Society [2]. Pero dejando esas cuestiones marginales, la Tierra como esfera fue ganando aceptación. Pero, si ya sabemos qué forma tiene la Tierra, ¿cómo la medimos?

Si estás pensando en cavar un tunel hasta el centro de la Tierra, tienes que conocer un riesgo fundamental: la temperatura allí es superior a los 6 000 ºC. Vale, si damos por imposible hacerlo de ese modo, podríamos pensar en contar la distancia recorrida al dar la vuelta al mundo, pero habría que hacerlo en una perfecta linea recta que partiera la Tierra en dos mitades idénticas, sin encontrarnos entre medias con obstáculos como montañas que nos desviaran de nuestro destino u océanos que nos hicieran la tarea aún más difícil. Si damos todo eso por imposible nos quedan pocas opciones, a no ser que tengamos un palo y una biblioteca cerca.

Eratóstenes fue un matemático y astrónomo griego que nació en el año 276 a. C. en la ciudad de Cirene, actualmente unas ruinas al norte de Libia. Entre otros honores y cargos, fue el elegido por Ptolomeo III —tercer faraón de su dinastía— para dirigir y administrar la mítica biblioteca de Alejandría, que era considerada el centro de todo el saber antiguo. Este griego tuvo una vida apasionante, pero es recordado fundamentalmente por dos cosas: en primer lugar por medir el radio de la Tierra utilizando un palo, y en segundo lugar por desarrollar lo que se conoce actualmente como la Criba de Eratóstenes, que es un algoritmo para encontrar todos los números primos menores a un número dado, y que actualmente muchos informáticos utilizan para comparar la funcionalidad entre diversos lenguajes de programación.

Ahora bien, si nos centramos en lo que nos ha traído a este artículo —la medición del tamaño de la Tierra— podemos decir que Eratóstenes sabía que en Siena y durante el medio día del solsticio de verano, si agarrabas un palo verticalmente, este no proyectaba sombra alguna. Eso significa que los rayos solares incidían de forma perpendicular a la ciudad. Nuestro matemático, además, creía que Siena y Alejandría estaban más o menos a la misma longitud terrestre, y que el Sol, al estar tan alejado, emitía sus rayos de manera paralela entre ambas ciudades. No obstante, se llevó una sorpresa al medir la sombra de un palo en Alejandría en ese mismo momento del año, ya que la sombra proyectada producía un ángulo de unos 7,2º. ¿Qué es lo que estaba pasando? Lo que ya se conocía, que la Tierra no era plana y que, al someter a igualdad de condiciones lumínicas a diversos puntos de la superficie, las sombras eran diferentes.

Después de observar este fenómeno y de medir el ángulo de 7,2º formado por la sombra en Alejandría, buscó en la biblioteca el dato de la distancia entre las dos ciudades, que se estimaba en 5 000 estadios (si cada estadio de aquella época eran 184,8 metros, entonces la distancia que usó Eratóstenes fue de 924 km). Si nos fijamos en la ilustración que he realizado más abajo, vemos que todos estos datos pueden resumirse de una manera muy sencilla: si la sombra proyectada en Alejandría tenía un ángulo de 7,2º, mientras que en Siena no había sombra alguna, eso significaba que ambas ciudades formaban una sección circular de 7,2º, donde el semicírculo entre las dos ciudades era 5 000 estadios (ver segunda parte de la siguiente figura).

Si continuamos con el razonamiento de Eratóstenes podemos llegar a la siguiente regla de tres: si para un semicírculo de 7,2 º el arco es de 5 000 estádios, ¿de cuanto será la circunferencia completa de 360º?

7,2º   —————— 5 000

360º ——————-     X

Si multiplicamos 360 por 5 000, y dividimos todo eso por 7,2 (así haríamos una regla de tres sencilla), veremos que entonces la circunferencia de la Tierra, según Eratóstenes, debería medir 250 000 estadios, es decir, 46 200 kilómetros.  Ahora bien, ¿sabes cual es la medida real? 40 075 km. Es decir, hace unos 2 300 años, un hombre con un palo fue capaz de medir la Tierra con solo un 15% de error. En la era de Google Earth puede parecer poco exacto, pero no está mal para tratarse de la primera medición de la Tierra realizada hace más de dos milenios.

Ahora bien, ¿por qué cometió Eratóstenes ese error? En primer lugar, las rutas de caravanas comerciales entre Siena y Alejandría, por más que lo intentaran, no podían ir en línea recta, así que la distancia lineal entre ambas ciudades no era 924 km, sino de 844 km. Si Eratóstenes hubiera hecho sus cálculos sabiendo el dato real habría obtenido una circunferencia terrestre de 42 200 km, es decir, un error de solo del 5%. Si además hubiera sabido que Alejandría y Siena no estaban a la misma longitud y que en realidad estaban separadas por tres grados, su cálculo habría sido más exacto. Otros pequeños datos contribuyeron a ese 15% de error, y de haber tenido los datos exactos su método habría producido un fallo de solo un 0,15%, lo cual es algo insignificante. Pero lo importante de la medición hecha por Eratóstenes fue que su razonamiento era fundamentalmente correcto.

Otros intentaron medir la circunferencia terrestre después de Eratóstenes. De hecho, Posidonio, un astrónomo Sirio, lo hizo replicando el experimento de Eratóstenes pero obteniendo peores resultados. La cifra obtenida por este astrónomo fue la utilizada por el famoso geógrafo Ptolomeo en su libro Geographia, y por ello fue considerada durante mucho tiempo de mejor calidad, a pesar de que daba una circunferencia mucho menor. Fue gracias a ese gran error por lo que España mandó la expedición de Colón. La realidad era que el viaje programado por la corona española hasta Japón y China era inviable, cosa que habrían sabido de utilizar la medida de Eratóstenes. De hecho, el único motivo por el cual Colón no murió de camino fue gracias a que había un continente desconocido entre medias. Fue, sin lugar a dudas, un hombre afortunado.

Hubo que esperar más de mil años desde Eratóstenes hasta que los astrónomos del califa Al-Mamun, en el siglo noveno de nuestra era y en plena edad de oro de la ciencia musulmana, encontraran un valor más cercano al real. Solo se equivocaron en un 0,1% al deducir que la Tierra tenía 40 248 km.

Medir el mundo con un palo, una sombra y unos cuantos datos. Y todo ello hace mas de dos milenios en la mítica ciudad de Alejandría. En la era de las telecomunicaciones puede que alguien piense que no es un gran logro, pero no es nada despreciable que en la antigüedad, cuando la mayoría de la gente aún pensaba que la Tierra era plana, un ser humano utilizara poco más que su ingenio para medir la circunferencia terrestre. La medida de Eratóstenes abrió las puertas de lo imposible, porque si alguien había logrado medir lo más grande que conocía la humanidad con un palo, ¿qué no podrían intentar los científicos del futuro? Y si medir la Tierra no os parece lo suficientemente interesante, en el siguiente capítulo os contaré una historia mucho más increíble: la del primer científico que midió su densidad.

Referencias

[1] Historia de los números

[2] Flat Earth Society