UNA VENTANA AL MUNDO DE LA PASIÓN CIENTÍFICA

La ley de Taylor


Texto escrito originalmente por Dani Martínez

Descubrir las leyes que rigen la realidad, la naturaleza, es uno de los fines últimos del científico. Hoy en día hemos podido contestar a grandes incógnitas del pasado que han derivado en leyes fundamentales de la naturaleza, como las leyes de la gravitación, las leyes de la termodinámica, o las leyes de la mecánica cuántica. Sí, todas las leyes que he escrito están relacionadas con física, y aunque son menos numerosas, es posible encontrar un buen número de leyes en química. Pero en biología es diferente, carecemos de “leyes” tan bien establecidas como las ramas anteriores. Al fin y al cabo, se podría decir que una ley define de forma bastante precisa y sin equivocaciones un buen rango de fenómenos que aparecen en la naturaleza. A los biólogos no se nos da tan bien predecir como describir dada nuestra historia pasada, ya que las matemáticas han entrado en nuestras vidas desde hace relativamente poco, sobre todo si nos comparamos con las otras disciplinas reinas en este aspecto como es la física. Las matemáticas son una de las piezas clave para que uno pueda describir las leyes de la naturaleza, ya que es el lenguaje más preciso que hemos descubierto para referirnos a ella.

En esta entrada os voy a hablar de una ley que es ubicua en multitud de sistemas, y que curiosamente tiene su descubrimiento en la biología. Cuando uno busca quién fue el primero que propuso este tipo de leyes acaba descubriendo que normalmente no fue la persona que le da el nombre a la ley o al proceso. Por ejemplo, el movimiento Browniano no lo descubrió por primera vez Brown, y la Ley de Taylor no fue propuesta por L.R. Taylor por primera vez. Por azares del destino, ellos se quedaron con la gloria y su nombre en la historia. Pero bueno, no nos desviemos, ¿qué propuso el señor Taylor? Él era un entomólogo que tras estudiar diversos conjuntos de datos biológicos (plantas, animales, virus…) se dio cuenta de una cosa asombrosa: podía relacionar la cantidad media de estos bichos con su variabilidad a lo largo del espacio con una sencilla operación matemática, una simple ley de potencias.

Parémonos un poco a pensar esta frase. Sabemos lo que es la media y lo que es la varianza, pero por si acaso vamos a refrescar conocimientos básicos de estadística. La media es el valor más probable de una distribución. Por ejemplo, si la altura media de los hombres en España es de 170 cm, ese es el valor más probable que va a tener alguien de estatura cuando elegimos a una persona al azar. La varianza es la amplitud que tiene la distribución. Pensemos ahora de forma diferente: quizás el valor más probable son 170 cm, pero realmente la probabilidad de tener a alguien de 150 o 190 cm tampoco sea muy diferente. Eso quiere decir que la distribución es muy dispersa y está poco centrada, y es justamente lo que mide la varianza. Cuanto más dispersa, más alto será el valor de la varianza. Abajo tenéis una imagen sacada de la Wikipedia donde podéis ver la diferencia entre las dos poblaciones ejemplo que os he dicho. La roja sería la distribución que está muy definida en su media, y la verde la distribución más dispersa.

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Entonces, volviendo a las palabras de Taylor, él nos propone una forma de relacionar ese punto central de la distribución con la dispersión de la misma. A priori parece casi magia, ¿no? Pues la relación entre los dos valores es extremadamente simple desde el punto de vista matemático, es una simple ley de potencias. Es decir, es una operación matemática que relaciona una variable (la varianza) con otra (la media) que está elevada a un determinado exponente y multiplicada por una constante. Justamente lo que vamos a representar abajo:

\sigma^2 = a · \mu^b

\sigma^2 corresponde con la varianza (o la desviación típica al cuadrado), y \mu corresponde con la media. En esta operación tenemos dos constantes que son las que tienen el peso de la relación. Por una parte tenemos el exponente y por otra la que está multiplicando a la media, en este caso a. Esta última constante tiene su importancia ya que nos mide la amplitud de la distribución. Sí, justo eso que acabamos de explicar. La importancia del exponente es algo más complicada de contar brevemente en esta entrada, pero diré que nos indica en qué tipo de distribución estamos. La imagen que os he mostrado arriba se llama distribución normal o gaussiana por su descubridor, pero es solo una de tantas distribuciones estadísticas. Por ejemplo, más abajo os muestro una serie de distribuciones de tipo Poisson, que equivaldrían a un valor de exponente de 0.5 en nuestra ley de Taylor. Cada distribución estadística tiene una serie de propiedades bien definidas, por lo que moverse en una u otra no es trivial e impondrá una serie de características al sistema que estemos estudiando.

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Distribución de Poisson con diferentes valores de lambda.

Así que ya tenemos esta relación entre media y varianza que nos da información sobre el sistema: nivel de amplitud y tipo de distribución. ¿A qué tipo de datos se le puede aplicar esta cosa entonces? ¡Pues a un montón! Comenzando por el principio, hay que comentar que se puede aplicar tanto a series temporales como a diferentes espacios en un mismo tiempo. Podemos medir el número de bichos en cada especie en tiempos distintos, o en cuadrantes distintos en el “mismo” tiempo. También podemos medir el flujo de internet en routers, el tráfico de emails, rayos cósmicos, epidemiología, expresión genética… Como veis, hay muchísimos casos que siguen esta ley, como muestro en estos pocos ejemplos.

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Fluctuación temporal de tres especies distintas. Cada punto representa su media temporal (f) y su desviación (sigma). Los valores de alfa, el exponente, indican la pendiente de la recta en la gráfica.

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Tráfico semanal en routers. Cada punto representa la media y la desviación típica del tráfico semanal de cada router por separado. En el eje de abajo deberían poner que es logarítmico.

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Variación espacial de cuatro especies diferentes. Cada punto captura la media y la desviación de un conjunto de cuadrantes del mismo espacio donde se hizo el recuento de especies.

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Recuento celular en diferentes especies. Cada punto es la media y la desviación del número de células de varios individuos de una determinada especie.

La ley de Taylor es un muy buen ejemplo de que la naturaleza sigue ciertos patrones similares en distintas escalas, desde aquellas tan pequeñas como los átomos hasta aquellas más grandes al nivel de organismos o incluso planetarios. Descubrir aquellas leyes que describen la naturaleza es un viaje largo, lleno de noches en vela y de más incógnitas que respuestas muchas veces. De hecho puede que incluso nunca lleguemos a resolverlas todas. Decía Richard Feynman:

Pienso que la imaginación de la naturaleza es mucho mayor que la del hombre, nunca nos permitirá relajarnos.

¿Pero acaso no vale la pena el viaje?

PD: los ejemplos están sacados de este artículo: http://arxiv.org/pdf/0708.2053

2 comentarios
  1. Víctor Buendía Ruiz-Azuaga

    March 1, 2016 en 20:17

    Realmente es una cosa interesante. Ahora que la gente se está interesante por meter más matemáticas a temas como la biología, la ciencia interdisciplinar está avanzando mucho.

    En el caso de la física, la gente se ha dado cuenta de que resulta que esas “leyes de potencias” aparecen muy, muy a menudo relacionando diferentes variables de interés en fenómenos biológicos, químicos o incluso de carácter sociológico, y están relacionados con un sistema que no ha llegado al equilibrio, es decir, que se encuentran en cambio. En un sistema que está en equilibrio la ley que actúa es exponencial en lugar de potencial (sucede por ejemplo con los gases en equilibrio termodinámico).

    No conocía esta ley en particular, la verdad es que parece bastante útil para estudiar una buena variedad de fenómenos. =)

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    • Daniel Martinez

      March 2, 2016 en 11:30

      Desde luego, las matemáticas son totalmente necesarias en biología. Por suerte me está tocando hacer la tesis en una colaboración con físicos y oye, estoy aprendiendo un par de cosas bastante interesantes 🙂

      En física se conoce con otro nombre si no me equivoco, “fluctuation scaling law” en inglés. Lo que no sabía era que estaba relacionada con sistemas que no han llegado al equilibrio, ¡muy interesante!

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