Historia de los números II. Los sumerios, los babilonios y el sistema sexagesimal

Historia de los números

Historia de los números I. El cero, los números romanos y los números indoarábigos

Historia de los números II. Los sumerios, los babilonios y el sistema sexagesimal

Historia de los números III. El sistema de numeración egipcio y los papiros Rhind y Boulaq 18

Historia de los números VI. Mayas, los matemáticos que observaban las estrellas

Historia de los números V. La llegada de los números indoarábigos a occidente

Historia de las mediciones

Historia de las mediciones I. Eratóstenes, el hombre que midió la Tierra

Historia de las mediciones II. Cavendish y la densidad de la Tierra

Introducción

Uruk fue una antigua ciudad sumeria. Se encontraba en la orilla del río Éufrates y vivió su máximo esplendor en el tercer milenio antes de Cristo. Una de sus características más llamativas era su muralla, que rodeaba una zona de unos siete kilómetros cuadrados donde vivían ochenta mil personas. Es decir, era la mayor ciudad que el mundo había conocido hasta entonces.

Se considera que en Uruk nació el cálculo y la contabilidad, y no solo eso, sino que también apareció por primera vez la rueda y la escritura en torno al año 3 300 a. C. De hecho, allí se escribió el Poema de Gilgamesh, que es una de las primeras obras literarias que se conservan.

El Imperio Babilonio que se estableció siglos después en la zona fue el heredero cultural de la civilización sumeria, y se extendió por toda la región central de Mesopotamia. La historia que voy a contar ocurrió allí y comienza con un número al cual también se enfrentarían siglos después los hindúes, el cero.

Sesenta números diferentes

Los sumerios fueron el primer pueblo conocido en inventar un sistema numeral posicional, el cual heredarían a su vez los babilonios. No obstante, su sistema era diferente al nuestro y no se basaba en diez números, sino en sesenta. Es decir, los sumerios utilizaban cincuenta y nueve símbolos para formar los primeros números, pero a partir del sesenta utilizaban repeticiones de símbolos anteriores, siendo la posición de las cifras la que definía la cantidad exacta.

Figura 1. Números del uno al 60 en el sistema numeral sumerio. El número 60, como se puede observar, reinicia el ciclo de generación de números a partir de los 59 caracteres básicos. Ilustración hecha por @marianocollante

Viendo esto, uno podría preguntarse por qué utilizar sesenta números. Los hindúes y los chinos usaban diez por los dedos de las manos, pero ¿por qué sesenta? La respuesta también está en nuestras extremidades, que parecen haber inspirado el surgimiento de la numeración en casi todas las culturas.

Los sumerios utilizaban el dedo gordo para señalar las diferentes falanges de los cuatro dedos restantes de esa mano, empezando por el meñique. Cuando habían contado todas las falanges levantaban un dedo de la otra mano y volvían a empezar. Los sumerios contaban doce falanges por cada mano, y en la otra solo tenían cinco dedos para levantar. Así obtenemos la clave del origen de su sistema sexagesimal, ya que doce falanges por cinco dedos levantados son igual a sesenta.

Figura 2. Esquematización de cómo contaban los sumerios utilizando las falanges de una mano. Ilustración hecha por @marianocollante

Algunos ejemplos de construcciones numéricas

El sistema sumerio presentaba problemas, ya que algunos números podían escribirse igual al cambiar de un grupo de sesenta números al siguiente, algo parecido a lo que les pasaría a los hindúes más de dos milenios después.

En la historia de la humanidad, algunas civilizaciones han encontrado soluciones parecidas a los mismos problemas, así que los escribas sumerios se dieron cuenta —al igual que lo harían los hindúes— de que había que dejar un espacio vacío entre algunos números para diferenciarlos, del mismo modo que nosotros diferenciamos el 68 del 608 utilizando un cero.

Los sumerios solucionaron su problema dejando un hueco entre los números, pero cada uno dejaba una distancia diferente, y lo que era un hueco podía confundirse fácilmente con dos. Cuando se dieron cuenta de que no se podía utilizar un espacio vacío, se inventó un apóstrofe para mostrar la ausencia de número. Ese símbolo era una aproximación a una de las dos funciones que tiene nuestro cero, en concreto la función posicional. Pongamos un ejemplo.

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Tenemos el número sumerio que se escribe como  111111. La primera posición está ocupada por el símbolo que significaría tres en nuestro sistema numérico. La primera posición indica que no hay que multiplicar ese número, es decir, 3 = 3. La segunda posición está ocupada por un apóstrofe, lo cual significa que no existe ningún número, aunque de haber habido alguna cantidad tendríamos que multiplicarla por sesenta. La tercera posición del número está ocupada por un dos, así que habría que multiplicar ese valor dos veces por sesenta, es decir, 2 x 3 600 = 7 200. Si sumamos todas las posiciones obtenemos el número en cuestión, que es el 7 203.

Puede que el lector piense que es una forma muy extraña de representar números, pero tal cual vimos anteriormente nosotros lo hacemos exactamente igual. Observemos el proceso lógico que usaríamos nosotros para escribir el mismo número.

1 - copia

En este caso, la primera posición indicaría que no hay que multiplicar esa cifra, es decir, 3 = 3. La segunda posición está ocupada por un cero, esto indicaría que no hay ningún número, aunque de haberlo tendríamos que multiplicarlo por diez. La tercera posición la ocupa un dos, eso significaría 2 x 100 = 200. Y la cuarta posición es un siete, lo que es equivalente a 7 x 1 000 = 7 000. Si lo sumamos todo obtenemos 7 203. Nuestra forma de construir números, como podemos observar, es muy parecida a la de los sumerios.

La tablilla Plimpton 322

Aunque el sistema numeral sumerio puede parecernos extraño, lo sorprendente es que nosotros también lo usamos junto al indoarábigo y al romano. Nuestro sistema sexagesimal para medir los ángulos y el tiempo se basa en el sistema sumerio, y decimos que una hora tiene sesenta minutos gracias a que los sumerios inventaron un sistema que les permitió medir mejor el tiempo y desarrollar la geometría. De hecho, avanzaron tanto en estas áreas que los hallazgos más sorprendentes de su cultura están asociados directamente con las matemáticas.

Desde el surgimiento temprano de la civilización sumeria hasta la caída de Babilonia en el 539 a. C., los escritos referidos a las matemáticas son los más abundantes en estas dos civilizaciones, y tal vez el conocimiento de esa disciplina fue lo que permitió su elevado desarrollo técnico. Nuestro conocimiento sobre las matemáticas de la época se fundamenta en unas cuatrocientas tablillas de arcilla escritas en simbología cuneiforme. Hay textos con las tablas de multiplicar, ejercicios geométricos, divisiones y números precalculados para realizar rápidamente operaciones.

Los sumerios no tenían algoritmos para hacer operaciones largas, ya que no podían utilizar el cero como a un número más. De hecho, ya vimos que para que los hindúes pudieran hacerlo, el matemático Brahmagupta describió matemáticamente el papel del cero en los algoritmos de cálculo. Y a pesar de que los sumerios no llegaron a ese punto, sí que desarrollaron métodos algebraicos para resolver ecuaciones de segundo grado, y utilizaban la misma fórmula que nosotros conocemos actualmente. También hay ejemplos de resolución de ecuaciones cúbicas, y han llegado hasta nosotros ejercicios sobre cómo resolver problemas de interés compuesto, es decir, calcular cuánto dinero tenemos que devolver al banco después de recibir un préstamo.

Los sumerios introdujeron las primeras medidas estándar para la longitud (pies) y el peso (talentos), y también fueron los primeros en medir el tiempo. Habían aproximado el valor de pi a tres, por lo que podían calcular de manera aproximada los volúmenes de cilindros y el área de figuras circulares. Los astrónomos sumerios y babilonios registraron de forma detallada los movimientos de los planetas, los eclipses solares y los lunares, haciendo cálculos muy precisos con todos esos datos.

De todos los textos conservados, el que más nos puede mostrar su habilidad matemática es la tablilla Plimpton 322, escrita hace cuatro mil años aproximadamente. Dicho documento es una prueba directa de que los babilonios conocían métodos para construir triángulos que cumplían el teorema de Pitágoras, y todo ello antes de que el teorema fuera enunciado.

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Figura 3. Tablilla Plimpton 322

La tabla de arcilla Plimpton 322 recibe su nombre del editor neoyorkino George Arthur Plimpton, que la compró en 1922. La tablilla proviene de Senkereh, una región del sur de Irak y que corresponde a la antigua ciudad de Larsa. La transcripción literal de la tablilla es la siguiente:

Figura 4. Transcripción a nuestro sistema numérico de la tablilla Plimpton 322

Pero ¿qué significan todos estos números? Tenemos que tener en cuenta que los babilonios usaban un sistema numeral sexagesimal, así que tomaremos los valores de la sexta fila —empezando por arriba—, y los traduciremos a nuestro sistema decimal. Si el lector no entiende los cálculos, no es demasiado importante, ya que lo más relevante es saber que, dado que los babilonios usaban un sistema basado en sesenta números, debemos convertir los números a nuestro sistema decimal.

Primera columna: 1,   47   6   41   40 = 1·600+47·60-1+6·60-2+41·60-3+40·60-4 = 1,785192901

Segunda columna: 5   19 =  5.601 + 19.600319

Tercera columna: 8   1 = 8. 601 + 1. 600 = 481

Cuarta columna: 6

La cuarta columna indica el orden de las operaciones realizadas en la tablilla, pero ¿qué significan los otros números? Podemos observar la siguiente relación: 481 es el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo donde 319 es uno de los lados. Pero ¿dónde está el otro lado que nos falta para cumplir el Teorema de Pitágoras? Ese lado tendría que valer 360, y si hacemos el cociente entre la hipotenusa y el número 360, el resultado es 1,33611111, y el cuadrado de ese número es 1,785192901, es decir, el valor de la primera columna de la tablilla.

Todo parece muy enrevesado, pero esos números tan extraños son el residuo del método que utilizaban los sumerios para construir triángulos pitagóricos. Para hallar los valores del triángulo aplicaban varias fórmulas, y utilizando esta metodología podían obtener treinta y ocho triángulos pitagóricos. En esta tablilla tenemos los quince primeros números que cumplen todas las condiciones, y las proporciones del triángulo de la sexta línea que hemos descifrado serían las siguientes [4]:

Figura 5. Triángulo teórico construido con los datos de la tablilla Pimptlon322. Ilustración hecha por @marianocollante

Vemos que el sistema numeral sumerio permitió realizar cálculos muy precisos hace cuatro mil años, realizar predicciones astronómicas y avanzar en aspectos como la medición del tiempo. Todo ello gracias a un sistema numérico posicional donde el cero aún no había nacido realmente, ya que era usado únicamente como un indicador de vacío entre diferentes números.

Los sumerios y los babilonios crearon un sistema numérico tan práctico que les permitió ser la civilización más avanzada del mundo durante muchos siglos. Nosotros hemos recibido una innegable herencia cultural matemática de los babilonios, y cuando decimos que en una hora hay sesenta minutos lo hacemos gracias a una persona que, hace más de cuatro mil años, decidió contar números con las falanges de una mano.


[1] Historia de los números I

[2] http://plus.maths.org/

[3] http://www.math.uchicago.edu/

[4] Estos datos no han sido calculados para este artículo, han sido obtenido de esta página web: http://tonyfdez.blogspot.com.es

Historia de los números II. Los sumerios, los babilonios y el sistema sexagesimal comentarios en «13»

  1. Muy buen artículo, ahora voy a leer el resto. Me ha gustado mucho, escribes muy bien y la historia que cuentas es muy interesante. ¡Feliz 2015!

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