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Historia de los números II. Los sumerios, los babilonios y el sistema sexagesimal


Figura 1. Los babilonios fueron los herederos culturales de los sumerios. En este mapa vemos el reino de la primera dinastía de Babilonia desde el principio del reinado de Hammurabi (1792-1750 a.C.) hasta el año 1595 a.C.

Texto escrito por Fernando Cervera

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Introducción

El número cero tiene muchas funciones diferentes. Para empezar hace referencia a la nada, pero por otro lado también cumple una función vital en nuestro sistema de representación numérico, ya que se usa como indicador de posición vacía. Sin el cero nuestro sistema numeral no tendría sentido, tal y como vimos en el artículo anterior de Historia de los números [1]. Esto se traduce en que el cero nos ha permitido tener un sistema que permite el cálculo fácil y la representación rápida de cualquier cantidad.

Anteriormente dijimos que los sumerios, los mayas y los chinos también habían llegado a una aproximación del concepto de cero, y en este post ahondaremos en ese concepto y sus implicaciones para la cultura sumeria y babilónica.

Comentamos anteriormente que hay dos tipos de sistemas numéricos, los no posicionales y los posicionales. El primero consiste en adoptar un símbolo que representa una cantidad determinada y repetirlo muchas veces, como por ejemplo el romano. El segundo tipo de numeración, al cual llamamos posicional, consiste en atribuir a unos pocos elementos un símbolo y considerar un conjunto ordenado de esos símbolos como un número diferente; 87 no es lo mismo que 78.

Sesenta números diferentes

Una vez terminado este breve recordatorio comenzaremos a hablar de otras civilizaciones. Los sumerios fueron el primer pueblo conocido en inventar un sistema numeral posicional, el cual heredarían a su vez los babilonios. No obstante su sistema no se basaba en diez números diferentes, sino en cincuenta y nueve. Es decir, los sumerios utilizaban 59 elementos para formar los primeros números, pero a partir del 60 utilizaban repeticiones de símbolos anteriores, siendo la posición de los números la que definía la cantidad exacta:

 

60

Figura 2. Números del uno al 59 en el sistema numeral sumerio.

Viendo esto uno podría preguntarse por qué utilizar 60 números. Los hindúes y los chinos usaban diez por los dedos de las manos, ¿pero por qué los sumerios usaban 60 números diferentes? La respuesta también está en nuestras extremidades, que parecen haber sido inspiradoras para el surgimiento de la numeración en casi todas las culturas. Los sumerios utilizaban el dedo gordo para señalar las diferentes falanges de los cuatro dedos restantes de esa mano, empezando por el meñique. Cuando habían contado todas las falanges levantaban un dedo de la otra mano y volvían a empezar. Los babilonios contaban doce falanges por cada mano, y en la otra solo tenían cinco dedos para levantar. Así obtenemos la clave del origen de su sistema sexagesimal, ya que doce falanges por cinco dedos levantados son igual a sesenta.

mano

Figura 3. Esquematización de cómo contaban los sumerios utilizando las falanges de una mano.

Algunos ejemplos de construcciones numéricas

El sistema sumerio presentaba problemas, ya que algunos números podían escribirse igual al cambiar de un grupo de 60 números al siguiente; algo parecido a lo que les pasaría a los hindúes más de dos milenios después. Y como en la historia de la humanidad algunas civilizaciones han encontrado soluciones parecidas a los mismos problemas, los escribas sumerios se dieron cuenta, al igual que lo harían los hindúes, de que había que dejar un espacio vacío entre algunos números para diferenciarlos; algo parecido a cuando nosotros diferenciamos el 68 del 608 utilizando un cero. Los escribas dejaban un hueco entre los números, pero cada uno dejaba una distancia diferente y lo era un hueco podía confundirse fácilmente con dos. Cuando se dieron cuenta de que no se podía utilizar un espacio vacío se inventó un apóstrofe para mostrar la ausencia de número. Este símbolo podría considerarse como una aproximación a una de las dos funciones que tiene nuestro cero, en concreto la función posicional para indicar el salto de un grupo decimal al siguiente. Para que entendamos esto pondré un ejemplo:

tabla

Tenemos el número sumerio que se escribe como  111111. La primera posición está ocupada por el símbolo que significaría tres en nuestro sistema numérico. La posición indica que hay que multiplicar ese número por uno, es decir, 3 x 1 = 3. La segunda posición está ocupada por un apóstrofe, lo cual significa que no existe ningún número, por lo que tendríamos que multiplicar ese número por 60, es decir, 0 x 60 = 0. La tercera posición del número está ocupada por un dos, así que habría que multiplicar ese número por 3600 (60 x 60), es decir, 2 x 60 x 60 = 7200. Si sumamos todas las posiciones obtenemos el número en cuestión, que es el 7203. Puede que el lector piense que es una forma muy extraña de representar los números, pero nosotros lo hacemos exactamente igual, observemos el proceso lógico que usaríamos nosotros para escribir el mismo número:

1 - copia

En este caso, la primera posición indicaría que hay que multiplicar tres por uno, es decir, 3 x 1 = 3. La segunda posición está ocupada por un cero, que en el sistema numeral sumerio era un apóstrofe. Esto indicaría que hay que multiplicar el cero por diez, es decir, 0 x 10 = 0. La tercera posición la ocupa un 2, eso significaría 2 x 10 x 10 = 200. Y la cuarta posición es un 7, lo que sería equivalente a 7 x 10 x 10 x 10 = 7000. Si lo sumamos todo nos dá 7203. Nuestra forma de construir números, como podemos observar, es exactamente igual a la de los sumerios.

La tablilla Plimpton 322

Llegados a este punto podría parecernos un sistema totalmente extraño; ¿60 números diferentes en vez de 10? Lo interesante es que, en realidad, nosotros también usamos su sistema numeral junto al hindú y al romano, ya que nuestro sistema sexagesimal para medir el tiempo y los ángulos se basa en el sistema numérico babilónico. Decimos que una hora tiene sesenta minutos y que un círculo contiene 360 grados, y todo ello gracias a que los babilonios inventaron un sistema numérico que les permitió medir mejor el tiempo y desarrollar la geometría. De hecho, avanzaron tanto en estas áreas que los hallazgos más sorprendentes de esta cultura están asociados directamente con las matemáticas.

Desde el surgimiento temprano de la civilización sumeria hasta la caída de Babilonia en el 539 a. C., los escritos referidos a las matemáticas son los más abundantes en estas dos civilizaciones, y tal vez el conocimiento de esta disciplina fue lo que permitió su elevado desarrollo técnico. Nuestro conocimiento sobre las matemáticas de esta época se fundamenta en unas 400 tablillas de arcilla escritas en simbología cuneiforme. Hay escritos con tablas de multiplicar, ejercicios geométricos, divisiones y números precalculados para realizar rápidamente operaciones.

Los sumerios no tenían una metodología para hacer divisiones largas, en parte debido a no poder usar el cero como un número. No obstante, estos incipientes matemáticos desarrollaron métodos algebraicos para resolver ecuaciones. Para solucionar las de segundo grado usaban la fórmula que nosotros conocemos actualmente, la cual fue redescubierta milenios más tarde. La diferencia es que ellos solo usaban raíces positivas, ya que eran las únicas que tenían sentido para resolver sus problemas cotidianos. También hay ejemplos de resolución de ecuaciones cúbicas, y han llegado hasta nosotros ejercicios sobre cómo resolver problemas de interés compuesto, es decir, calcular cuánto dinero tenemos que devolver a alguien después de que nos deje dinero. [2]

Los sumerios introdujeron las primeras medidas estándar para medir la longitud (pies) y el peso (talentos), y también fueron los primeros en medir el tiempo. Habían aproximado el valor de π a 3, por lo que podían medir de manera bastante certera los volúmenes de cilindros y el área de figuras circulares. Los astrónomos asirios y babilonios registraron de forma detallada los movimientos estelares, el de los planetas y los eclipses solares y lunares, haciendo cálculos muy precisos con todos esos datos. Esto les permitió conocer y predecir mejor los cambios estacionales, otorgándoles claras ventajas adaptativas como sociedad. Para realizar algunos de sus cálculos astronómicos utilizaron una metodología muy próxima a lo que nosotros conocemos hoy en día como análisis de Fourier [3].

De todos los textos conservados, el que más nos puede mostrar de forma rápida lo avanzada que se encontraban sus matemáticas es la tablilla Plimpton 322, datada entre los años 1900 y 1600 a.C. Dicha tablilla es una prueba directa de que los babilonios conocían métodos para construir triángulos que cumplían el teorema de Pitágoras, y todo ello antes de que el teorema fuera enunciado.

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Figura 4. Tablilla Plimpton 322

La tabla de arcilla Plimpton 322 recibe su nombre del editor neoyorkino George Arthur Plimpton, que la compró en 1922. La tablilla proviene de Senkereh, una región del sur de Irak y que corresponde a la antigua ciudad de Larsa. La transcripción literal de la tablilla es la siguiente:

tabla2

Figura 5. Transcripción a nuestro sistema numérico de la tablilla Plimpton 322

Pero, ¿qué significan todos estos números? Tenemos que tener en cuenta que los babilonios usaban un sistema numeral sexagesimal, así que tomaremos los valores de la sexta línea e intentaremos traducirlos a nuestra base decimal. Si el lector no entiende los cálculos que se van a realizar no es demasiado importante, lo más relevante es que entienda que, dado que los babilonios usaban un sistema basado en 60 números principales, debemos convertir los números a nuestro sistema decimal, tal cual hicimos en un ejemplo anterior. La conversión de la sexta línea de la tablilla quedaría así:

Primera columna: 1,   47   6   41   40 = 1·600+47·60-1+6·60-2+41·60-3+40·60-4 = 1,785192901

Segunda columna: 5   19 =  5.601 + 19.600319

Tercera columna: 8   1 = 8. 601 + 1. 600 = 481

Cuarta columna: 6

La cuarta columna indica el orden de las operaciones realizadas en la tablilla pero, ¿qué significan el resto de números? Podemos observar la siguiente relación; 481 es el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo donde 319 es uno de los catetos. ¿Dónde está el cateto que nos faltaría para cumplir el teorema de Pitágoras? El otro cateto tendría que valer 360, y si hacemos el cociente entre la hipotenusa y el número 360 es 1,33611111, y el cuadrado de ese número es 1,785192901. Estas operaciones intermedias son el residuo del método que utilizaban los sumerios para construir triángulos pitagóricos. Para hallar los valores de un triángulo que cumpliera el teorema aplicaban una fórmula, la cual funcionaba si se limitaban algunos valores. Utilizando esta metodología se podían obtener 38 pares de números X e Y que satisfacían las condiciones y cumplían el Teorema de Pitágoras, el cual aún no conocían. En nuestra tablilla tenemos los 15 primeros números que cumplen todas las condiciones, y las proporciones del triángulo de la sexta linea que hemos descifrado en este post sería la siguiente [4]:

triangulo

Figura 6. Triángulo teórico construido con los datos de la tablilla Pimptlon322

Vemos que el sistema numeral sumerio permitió hace 4000 años realizar cálculos muy precisos, construir triángulos que cumplían el Teorema de Pitágoras, realizar predicciones astronómicas o avanzar en aspectos como la medición del tiempo. Todo ello gracias a un sistema numérico posicional donde el cero aún no había nacido realmente, ya que era usado únicamente como un indicador de vacío entre diferentes números. Los sumerios y los babilonios estuvieron muy cerca de enunciar al cero como un número, y el hecho de haber creado un sistema numérico tan práctico les permitió ser la civilización más avanzada del mundo durante muchos siglos. Hemos recibido una innegable herencia cultural matemática de los babilonios, y cuando decimos que en una hora hay sesenta minutos lo hacemos gracias a una persona que, hace más de 4.000 años, decidió contar números con las falanges de una mano.


[1] Historia de los números I

[2] http://plus.maths.org/

[3] http://www.math.uchicago.edu/

[4] Estos datos no han sido calculados para este artículo, han sido obtenido de esta página web: http://tonyfdez.blogspot.com.es

8 comentarios
  1. Tina

    January 4, 2015 en 11:59

    Muy buen artículo, ahora voy a leer el resto. Me ha gustado mucho, escribes muy bien y la historia que cuentas es muy interesante. ¡Feliz 2015!

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  2. Richardbalp

    January 11, 2015 en 02:56

    Los números, una historia interesante!!!

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  4. vero

    March 24, 2015 en 17:43

    faltarian unos cuantos ejemplos para poder practicar , gracias

    Responder
    • Fernando Cervera

      March 27, 2015 en 13:19

      Bueno, con las reglas y con las tablas es fácil intentar algún número, aunque para la próxima tal vez añada un enlace con más ejemplos para poder practicar. Gracias por el comentario 🙂

      Responder
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